Question

【題目】已知直線l1：y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，且與雙曲線y= 交于點C（1，a）．

（1）試確定雙曲線的函數表達式；
（2）將l1沿y軸翻折后，得到l2 ， 畫出l2的圖象，并求出l2的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，點P是線段AC上點（不包括端點），過點P作x軸的平行線，分別交l2于點M，交雙曲線于點N，求S△AMN的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=1代入y=x+3，

∴y=1+3=4，

∴C（1，4），

把C（1，4）代入y= 中，

∴k=4，

∴雙曲線的解析式為：y=

（2）

解：如圖所示，

設直線l2與x軸交于點D，

由題意知：A與D關于y軸對稱，

∴D的坐標為（3，0），

設直線l2的解析式為：y=ax+b，

把D與B的坐標代入上式，

得： ，

∴解得： ，

∴直線l2的解析式為：y=﹣x+3

（3）

解：設M（3﹣t，t），

∵點P在線段AC上移動（不包括端點），

∴0＜t＜4，

∴PN∥x軸，

∴N的縱坐標為t，

把y=t代入y= ，

∴x= ，

∴N的坐標為（ ，t），

∴MN= ﹣（3﹣t）= +t﹣3，

過點A作AE⊥PN于點E，

∴AE=t，

∴S△AMN= AEMN，

= t（ +t﹣3）

= t2﹣ t+2

= （t﹣ ）2+ ，

由二次函數性質可知，當0≤t≤ 時，S△AMN隨t的增大而減小，當 ＜t≤4時，S△AMN隨t的增大而增大，

∴當t= 時，S△AMN可取得最小值為 ，

當t=4時，S△AMN可取得最大值為4，

∵0＜t＜4

∴ ≤S△AMN＜4

【解析】本題考查函數的綜合問題，涉及待定系數法求一次函數解析式和反比例函數解析式，三角形面積等知識，由于有動點，所以難度較高，需要學生利用參數去表示相關坐標，然后求出函數關系式．（1）令x=1代入一次函數y=x+3后求出C的坐標，然后把C代入反比例函數解析式中即可求出k的值；（2）設直線l2與x軸交于D，由題意知，A與D關于y軸對稱，所以可以求出D的坐標，再把B點坐標代入y=ax+b即可求出直線l2的解析式；（3）設M的縱坐標為t，由題意可得M的坐標為（3﹣t，t），N的坐標為（ ，t），進而得MN= +t﹣3，又可知在△ABM中，MN邊上的高為t，所以可以求出S△AMN與t的關系式．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和三角形的面積，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題．