Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B(0，2)，且其面積為8．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)如圖2，若P點為拋物線上不同于A的一點，連結PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R．

①求證：PB＝PS；

②判斷△SBR的形狀；

③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

 

⑴解：方法一：

∵B點坐標為(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4.

∴C點坐標為(一2，2)．F點坐標為(2，2)。

設拋物線的解析式為．

其過三點A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得

解這個方程組，得

∴此拋物線的解析式為    …………    (3分)

方法二：

 ∵B點坐標為(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4.

∴C點坐標為(一2，2)。  ………    (1分)

  根據題意可設拋物線解析式為。

  其過點A(0，1)和C(-2．2)

  ………

  解這個方程組，得

  此拋物線解析式為

(2)解：

①過點B作BN，垂足為N．

  ∵P點在拋物線y=十l上．可設P點坐標為．

  ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

  在RtPNB中．

  PB＝

∴PB＝PS＝………………………… (6分)

②根據①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵ ，

∴，

同理SBP＝………………………… (7分)

∴

∴

∴.

∴ △SBR為直角三角形．………………………… (8分)

③方法一：

設，

∵由①知PS＝PB＝b．，。

∴

∴。………………………… (9分)

假設存在點M．且MS＝，別MR＝ 。

若使△PSM∽△MRQ，

則有。

即

∴。

∴SR＝2

∴M為SR的中點.………………………… (11分)

若使△PSM∽△QRM，

則有。

∴。

∴。

∴M點即為原點O。

  綜上所述，當點M為SR的中點時．PSM∽MRQ；當點M為原點時，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

方法二：

  若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。

  當PSM∽MRQ時．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

  由直角三角形兩銳角互余性質．知PMS+QMR＝。

∴。………………………… (9分)

  取PQ中點為N．連結MN．則MN＝PQ=．…………………… (10分)

∴MN為直角梯形SRQP的中位線,

∴點M為SR的中點  ……………………(11分)

當△PSM∽△QRM時，

又，即M點與O點重合。

∴點M為原點O。

綜上所述，當點M為SR的中點時，PSM∽△MRQ；當點M為原點時，PSM∽△QRM………   (13分)

 

 

 

 

 解析:略