Question

【題目】如圖 1，折疊矩形紙片 ABCD，具體操作：①點 E 為 AD 邊上一點（不與點 A，D 重合），把△ABE 沿 BE 所在的直線折疊，A 點的對稱點為 F 點；②過點 E 對折∠DEF，折痕EG 所在的直線交 DC 于點 G，D 點的對稱點為 H 點．

（1）求證：△ABE∽△DEG．

（2）若 AB＝6，BC＝10

①點 E 在移動的過程中，求 DG 的最大值；

②如圖 2，若點 C 恰在直線 EF 上，連接 DH，求線段 DH 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）由折疊的性質和矩形的性質可得∠ABE＝∠DEG，而∠A＝∠D＝90°，進而可得結論；

（2）①設 AE＝x，然后根據相似三角形的性質可得DG與x的二次函數關系式，再根據二次函數的性質解答即可；

②如圖2，根據折疊的性質、平行線的性質和等量代換可得∠FEB＝∠EBC，從而得CE＝CB＝10，在Rt△BCF中，根據勾股定理可求出CF的長，進而可得EF的長，即為AE的長，然后根據相似三角形的性質可求出DG的長，進一步即可求出EG，由折疊可知 EG 垂直平分線段 DH，然后根據三角形的面積即可求出DM的長，從而可得DH．

解：（1）如圖 1 中，由折疊可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，

∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，

∴∠AEB+∠DEG＝90°，

∵四邊形 ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DEG，

∴△ABE∽△DEG；

（2）①設 AE＝x，則DE=10－x，

∵△ABE∽△DEG，

∴，即，

∴，

∵，

∴x＝5 時，DG 有最大值，最大值為；

②如圖 2 中，連接 DH，設DH與EG交于點M，

由折疊可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBC，

∴∠FEB＝∠EBC，

∴CE＝CB＝10，

∴CF＝

∴AE＝EF＝10－8＝2，

∴，

∴，

由折疊可知 EG 垂直平分線段 DH，

∴DM=HM，

根據三角形的面積可得：，

∴．