Question

（本題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的右交點為點A，與y

 

軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連結AC．現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t（單位:秒）

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形?

（3）請說明當0＜t＜4.5時，△PQF的面積總為定值；

（4）當0≤t≤4.5是否存在△PQF為等腰三角形？當t為何值時，△PQF為等腰三角形?（直接寫出結果）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由y=（x²―8x―180），令y=0，

得x²―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10，

∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分

在y=x²―x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分

∵BC∥OA，故點C的縱坐標為―10．

由―10 y=x²―x―10，得x＝8或x＝0 ．

即C（8，―10）且易求出頂點……………………………………………………3分

于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．頂點坐標為……………4分

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，

而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得………………………………………6分

（3）設點P運動t秒，則OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．說明P在線段OA上，且不與

點O，A重合．

∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴

同理QC∥AF，故即

∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分

∵點Q到直線PF的距離d＝10，

∴S_△PQF＝••PF•d＝×18×10＝90．

所以△PQF的面積總為定值90．…………………………………………………………9分

（4）故當不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分

當 時，為等腰三角形．…………………………………………12分

 

【解析】略