Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6交x軸于A，B兩點（點A在點B的右側），交y軸于點C，頂點為D，對稱軸分別交x軸、線段AC于點E、F．

（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；

（2）連結AD，CD，求△ACD的面積；

（3）設動點P從點D出發，沿線段DE勻速向終點E運動，取△ACD一邊的兩端點和點P，若以這三點為頂點的三角形是等腰三角形，且P為頂角頂點，求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面積為12；（3）點P的坐標為（2，2）或（2，6）或（2，3）．

【解析】

（1）令y=0，求出x，即可求出點A、B的坐標，令x＝0，求出y即可求出點C的坐標，再根據對稱軸公式即可求出拋物線的對稱軸；

（2）先將二次函數的一般式化成頂點式，即可求出點D的坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式，從而求出點F的坐標，根據“鉛垂高，水平寬”求面積即可；

（3）根據等腰三角形的底分類討論，①過點O作OM⊥AC交DE于點P，交AC于點M，根據等腰三角形的性質和垂直平分線的性質即可得出此時AC為等腰三角形ACP的底邊，且△OEP為等腰直角三角形，從而求出點P坐標；②過點C作CP⊥DE于點P，求出PD，可得此時△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，從而求出點P坐標；③作AD的垂直平分線交DE于點P，根據垂直平分線的性質可得PD＝PA，設PD＝x，根據勾股定理列出方程即可求出x，從而求出點P的坐標.

（1）對于拋物線y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，

∴B（﹣2，0），A（6，0），

令x＝0，得到y＝6，

∴C（0，6），

∴拋物線的對稱軸x＝﹣＝2，A（6，0）．

（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，

∴拋物線的頂點坐標D（2，8），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

將A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，

將x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4

∴F（2，4），

∴DF＝4，

∴＝＝12；

（3）①如圖1，過點O作OM⊥AC交DE于點P，交AC于點M，

∵A（6，0），C（0，6），

∴OA＝OC＝6，

∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°

∴CP＝AP，△OEP為等腰直角三角形，

∴此時AC為等腰三角形ACP的底邊，OE＝PE＝2．

∴P（2，2），

②如圖2，過點C作CP⊥DE于點P，

∵OC＝6，DE＝8，

∴PD＝DE﹣PE＝2，

∴PD＝PC，

此時△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，

∴P（2，6），

③如圖3，作AD的垂直平分線交DE于點P，

則PD＝PA，

設PD＝x，則PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，

解得x＝5，

∴PE＝8﹣5=3，

∴P（2，3），

綜上所述：點P的坐標為（2，2）或（2，6）或（2，3）．