Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若E是的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）CD與圓O相切，理由為：由AC為角平分線得到一對角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證；
（2）根據E為弧AC的中點，得到弧AE=弧EC，利用等弧對等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可．
解答：解：（1）CD與圓O相切．理由如下：
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
則CD與圓O相切；

（2）連接EB，由AB為直徑，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F為EB的中點，
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF=AE=，即CF=DE=，
在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=，
則S_陰影=S_△DEC=××=．
點評：此題考查了切線的判定，以及平行線的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．