Question

如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，的度數等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD+∠CAO=    °．

Answer 1

【答案】分析：在等腰△OAC和△OCD中，根據等腰三角形的兩個底角相等的性質求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的內角和求得∠OCD=48°；然后根據角平分線的性質求得∴∠OCA=∠ACD=24°；最后由圓周角定理知：∠ABD=∠AOD，∠OCA=∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，進而求得∠ABD+∠CAO=48°．
解答：解：∵圓心角的度數和它們對的弧的度數相等，
∴的度數等于84°，即∠COD=84°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半徑），
∴∠OCD=∠ODC（等邊對等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=48°；
而CA是∠OCD的平分線，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=24°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠OCA（等邊對等角）；
∵∠ABD=∠AOD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∠DCA=∠AOD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠ABD=∠CAD，
∴∠ABD+∠CAO=48°；
故答案為：48°．
點評：本題綜合考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系．解答此題的關鍵點是利用“圓心角的度數和它們對的弧的度數相等”求得∠COD=84°．