Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是邊AB上一點，且AE=AB，⊙O經過點E，與邊CD所在直線相切于點G（∠GEB為銳角），與邊AB所在直線相交于另一點F，且EG：EF=.當邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時，AB的長是 .

Answer 1

【答案】12或4.

【解析】

試題如答圖，過點G作GN⊥AB，垂足為N，連接OE，∴EN=NF，

又∵EG：EF=，∴EG：EN=，

又∵GN=AD=8，∴設EN=k，則，根據勾股定理得：.

解得：k =4.∴EN=4，.

設⊙O的半徑為r，由OE2=EN2+ON2，即：r2=16+（8﹣r）2，解得：r=5．

∵∠GEB為銳角，∴點F在點E的右邊，分兩種情況：

①當邊BC所在的直線與⊙O相切于點K時，如答圖1，連接OK.∴OK=NB=5.∴EB=9，

又AE=AB，∴AB=12．

②當邊AD所在的直線與⊙O相切于點Q時，如答圖2，連接OQ。∴OQ=AN=5.∴AE=1.

又AE=AB，∴AB=4．

綜上所述，當邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時，AB的長是12或4.