Question

如圖，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA＝OB．
【小題1】求b＋c的值
【小題2】若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，試求拋物線的解析式；
【小題3】在（2）的條件下，作∠OBC的角平分線，與拋物線交于點P，求點P的坐標．

Answer 1

【小題1】因為拋物線y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點B，所以點B的坐標為（0，c）．…… 1分
因為OA＝OB，所以點A的坐標為（－c，0）．…… 2分
將點A（－c，0）代入y＝－x²＋bx＋c，得－c²＋bc＋c＝0．
因為c≠0，整理，得b＋c＝1．…… 4分
【小題2】如果四邊形OABC是平行四邊形，那么BC//AO，BC＝AO．
因此點C的坐標可以表示為（c，c）．…… 5分
當點C（c，c）落在拋物線y＝－x²＋bx＋c上時，得－c²＋bc＋c＝c．
整理，得b＝c．…… 6分
結合第（1）題的結論b＋c＝1，得．…… 7分
此時拋物線的解析式為．…… 8分
【小題3】過點P作PM⊥y軸，垂足為M．

因為BP平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．9分
設點P的坐標為，
由BM＝PM，列方程．…… 10分
解得或（舍去）．…… 11分
所以，點P的坐標為．…… 12分解析:
（1）因為拋物線y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點B，所以點B的坐標為（0，c）．點A的坐標為（－c，0）．代入y＝－x²＋bx＋c，求得b＋c的值
（2）根據四邊形OABC是平行四邊形，得出點C的坐標可以表示為（c，c）進行解答
（3）過點P作PM⊥y軸，垂足為M．證得△BPM是等腰直角三角形