Question

如圖，正方形ABCD，點E在CD上，點F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，連BF、BE，
①求∠EBF度數；
②延長AG交BE的延長線于H點，求的值；
③若，且正方形邊長為3，則BH=______

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性質和已知條件可得到∠EBF=∠ABC，又因為∠ABC是正方形的一個內角，所以∠ABC=90°，進而求出∠EBF度數；
（2）設BF交AG于點Q，通過證明△ABQ∽△DBH，由相似三角形的性質即可得到==，進而得到=；
（3）設BE交CG于點M，由已知條件和勾股定理可求出BE，由射影定理可求出BM的長，由△ABQ∽△DBH，得BH=BQ=BM=9．
解答：解：（1）∵正方形ABCD，點E在CD上，點F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，
∴BG=BC=AD=BA，∠BAF=∠BGF=∠BCE=90°
∴BF平分∠AFG，BE平分∠GEC，
∴BF平分∠ABG，BE平分∠GBC．
∴∠ABF=∠FBG，∠GBE=∠EBC，
∴∠EBF=∠ABC=45°；
                            
（2）設BF交AG于點Q，連接BD，DH，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DBH+∠FBD=45°，
∴∠ABF=∠DBH，
∵∠AQB=∠DHB=90°，
∴△ABQ∽△DBH，
∴==                           
∴=；
                      
（3）設BE交CG于點M，
∵，DC=3，
∴CE=，DE=2，
∴BE==10，
∵BC²=BM•BE，
∴90=BM×10，
∴BM=9，
由△ABQ∽△DBH，
得BH=BQ=BM=9．     
故答案為：9．
點評：此題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、垂直平分線的性質，題目的綜合性很強，難度不小．