Question

【題目】如圖，已知同一平面內，∠AOB=90゜，∠AOC=60゜．

（1）填空：∠COB=；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接寫出∠DOE的度數為；
（3）試問在（2）的條件下，如果將題目中∠AOC=60゜改成∠AOC=2α（α＜45゜），其他條件不變，你能求出∠DOE的度數嗎？若能，請你寫出求解過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：分為兩種情況：：①如圖1,當射線OC在∠AOB內部時,∠COB=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣60°=30°；②如圖2,當射線OC在∠AOB外部時,∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；故答案為：150°或30°
（2）解：（ 2 ）在圖3中,∵∠AOB=90°,∠AOC=60°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC= ∠BOC= ×30°=15°,∠COE= ∠AOC= ×60°=30°, ∴∠DOE=∠COD+∠COE=15°+30°=45°；在圖4中,∵∠AOB=90°,∠AOC=60°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC= ∠BOC= ×（90°+60°）=75°,∠COE= ∠AOC= ×60°=30°,∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=75°﹣30°=45°；故答案為：45°．
（3）解：能求出∠DOE的度數．

①當OC在∠AOB內部時，如圖3，

∵∠AOB=90°，∠AOC=2α°，

∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣2α°，

∵OD、OE分別平分∠BOC，∠AOC，

∴∠DOC= ∠BOC=45°﹣α°，∠COE= ∠AOC=α°，

∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（45°﹣α°）+α°=45°；

②當OC在∠AOB外部時，如圖4，

∵∠AOB=90，∠AOC=2α°，

∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α°，

∵OD、OE分別平分∠BOC，∠AOC，

∴∠DOC= ∠BOC=45°+α°，∠COE= ∠AOC=α°，

∴∠DOE=∠DOC﹣∠COE=（45°+α°）﹣α°=45°；

綜合上述，∠DOE=45°

【解析】（1）根據題意分兩種情況畫出圖形：當①如圖1，當射線OC在∠AOB內部時，②如圖2，當射線OC在∠AOB外部時，分別求出∠BOC的度數。

（2）根據題意分兩種情況畫出圖形：根據已知條件OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，分別求出∠DOC，∠COE的度數，然后根據∠DOE=∠COD+∠COE或∠DOE=∠COD﹣∠COE，即可求解。
（3）根據題意分兩種情況畫出圖形：①當OC在∠AOB內部時，如圖3，②當OC在∠AOB外部時，如圖4，先根據角平分線的定義用含α°的代數式分別表示出∠DOC，∠COE的度數，再根據∠DOE=∠DOC+∠COE和∠DOE=∠DOC﹣∠COE，即可求出結果。