Question

如圖，記拋物線y=-x²+1的圖象與x正半軸的交點為A，將線段OA分成n等份，設分點分別為P₁，P₂，…P_n-1，過每個分點作x軸的垂線，分別與拋物線交于點Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再記直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面積分別為S₁，S₂，…，這樣就有S₁=

n2-1

2n3

，S₂=

n2-4

2n3

，…；記W=S₁+S₂+…+S_n-1，當n越來越大時，你猜想W最接近的常數是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：已知點P_n都在x軸上且將線段OA分成n等份，則每等分為

1

n

，點Q_n都在拋物線y=-x²+1上，三角形面積等于底乘以高的積的

1

2

，利用垂直條件求出高，就可以把OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面積表示出來，找出規律，寫出S_m的表達式再求和，最后當n很大時，求出W最接近的常數．

解答：解：由圖象知S₃=

n2-9

2n3

，總結出規律：Sm=

n2-m2

2n3

(1≤m≤n-1)，
則w=S₁+S₂+…+S_n-1=

n2-1

2n3

+

n2-4

2n3

+…+

n2-(n-1)2

2n3

=

(n-1)n2-[1+22+…+(n-1)2]

2n3

=

n3-n2- (n-1)n(2n-1) 6

2n3

=

4n3+3n2-7n

12n3

=

1

2

-

1

2n

-

1

6

+

1

4n

-

1

12n2

=

1

3

-

1

4n

-

1

12n2

，
當n越來越大時，可知W最接近的常數為

1

3

．
故選C．

點評：此題考查拋物線性質和面積公式，是道規律題，要結合圖象和幾何關系，求出統一表達式S_m，學會觀察圖形求面積．