Question

如圖，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且點D在BC上，DE與AC交于點F．
（1）求證：△ABD∽△DCF；
（2）若AB=1，BD=

2

2

，則CF的長度是多少？

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的判定，兩角對應相等兩三角形相似即可得出；
（2）利用（1）中三角形相似，得出對應邊比值相等，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠B=∠C=∠E=∠ADE=45°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCF；

（2）解：∵△ABD∽△DCF；
∴

AB

BD

=

CD

FC

，
∵AB=1，
∴BC=

1+1

=

2

，
∵BD=

2

2

，
∴CD=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

1

2 2

=

2 2

FC

，
∴FC=

1

2

，
則CF的長度是

1

2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定和等腰直角三角形的性質，利用兩角對應相等得出三角形相似，相關問題的考查較多，同學們應熟練掌握．