Question

如圖所示，已知A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC于點E，BF⊥AC于點F，若AB=CD．

（1）BD與EF互相平分嗎？請說明理由；
（2）若將△ABF沿CA方向移動變為圖②時，其余條件不變，上述結論是否還成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）BD與EF互相平分．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分；

（2）上述結論還成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分．
分析：（1）連接BE、FD，首先由題意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，則由全等三角形的判定定理HL證得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四邊形BEDF為平行四邊形，即可推出BD與EF互相平分；
（2）同（1）的證明過程．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．