Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，△APQ的周長為2，求∠PCQ．
為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如圖）
（1）△CBE可以看成由△CDQ怎樣運動變化得到的？
（2）圖中PQ與PE的長度有什么關系？為什么？
（3）請用（2）的結論證明△PCQ≌△PCE；
（4）根據以上三個問題的啟發，求∠PCQ的度數．
（5）對于題目中的點Q，若Q恰好是AD的中點，求BP的長．

Answer 1

解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉90°得到的；

（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的邊長為1，
∴AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ；

（3）∵△CBE≌△CDQ，
∴QC=EC，
在△PCQ和△PCE中，

∴△PCQ≌△PCE（SSS）；

（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=×90°=45°；

（5）若Q為AD中點，得到DQ=AQ=AD=，
∵△PCQ≌△PCE，∴BE=DQ=，
設BP=x，則AP=1-x，
∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+，
在Rt△APQ中，根據勾股定理得：PQ²=AQ²+AP²，
即（x+）²=（）²+（1-x）²，
化簡得：x²+x+=+1-2x+x²，即3x=1，解得x=，
則BP的長為．
分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋轉得到的；
（2）由旋轉可知△CEB≌△CDQ，根據全等三角形的對應邊相等得到DQ=BE，由正方形的變成為1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周長為2，可求出PQ=PE；
（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一對對應邊相等，再由CP為公共邊，根據SSS判定△PCQ≌△PCE；
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度數是∠DCB度數的一半，由∠DCB為直角即可求出∠PCQ的度數；
（5）由Q為AD的中點，根據正方形的邊長為1，求出DQ與AQ的長，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，從而求出BE的長，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，設PB為x，用PB+BE表示出PE即為PQ的長，且表示出AP的長，在直角三角形APQ中，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BP的長．
點評：本題考查了圖形的旋轉、全等三角形的判定與性質、正方形的性質等知識．要求學生掌握圖形的三種變換：平移、旋轉、軸對稱都只是改變圖形的位置，不改變形狀和大小，從而由旋轉得到△CBE≌△CDQ，是本題的突破點，第四問利用轉化的思想來求解，第五問在求BP長時，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想來求解．