Question

【題目】已知，AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉角，交邊AB于點M，交射線AC于點N，設AM=xAB，AN=yAC(x,y≠0).

（1）如圖1，當△為等邊三角形且°時，證明：△AMN∽△DMA；

（2）如圖2，證明： ；

（3）如圖3，當G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于點 ，交射線AC于點，設AG=nAD， ，猜想： 是否成立？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）猜想成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）利用“兩角法”證得兩個三角形相似；

（2）如圖1，過點C作CF∥AB交MN于點F，構建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用該相似三角形的對應邊成比例求得．通過證△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比例的性質和相關線段的代入得到，即；

（3）猜想： += 成立．需要分類討論：①如圖乙，過D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延長線于N．由平行線截線段成比例得到，易求，利用（2）的結果可以求得；

②如圖丙，當過點D作M1N1∥M'N'交AB的延長線于M1，交AC1于N1，則同理可得．

試題解析：解：（1）證明：如圖1．在△AMD中，∵AD是△ABC的中線，△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，∠MAD=30°．又∵α=∠BDM=30°，∴∠MDA=60°，∴∠AMD=90°．在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，∴△AMN∽△DMA；

（2）證明：如圖甲，過點C作CF∥AB交MN于點F，則△CFN∽△AMN，∴．

∵CF∥BM，∴∠B=∠DCF．在△CFD和△BMD中， ，∴△CFD≌△BMD，∴BM=CF，∴，∴，即；

（3）猜想： += 成立．理由如下：

①如圖乙，過D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延長線于N，則，∴，即，由（2）知，∴；

②如圖丙，當過點D作M1N1∥M'N'交AB的延長線于M1，交AC1于N1，則同理可得．