Question

（2010•襄陽）如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于D，BD=2PA．
（1）證明：直線PB是⊙O的切線；
（2）探究線段PO與線段BC之間的數量關系，并加以證明；
（3）求sin∠OPA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB．證OB⊥PB即可．通過證明△POB≌△POA得證．
（2）根據切線長定理PA=PB．BD=2PA，則BD=2PB，即BD：PD=2：3．
根據BC∥OP可得△DBC∽△DPO，從而得出線段PO與線段BC之間的數量關系．
（3）根據三角函數的定義即求半徑與OP的比值．設OA=x，PA=y．則OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y與x的關系，進而在△POB中求OP與x的關系，從而求比值得解．
解答：（1）證明：連接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB，（1分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．                                            （3分）
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切線．                                           （4分）

（2）解：2PO=3BC．（寫PO=BC亦可）
證明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．                             （5分）
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．                                   （6分）
∴，
∴2PO=3BC．                                                 （7分）

（3）解：∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴，
即DC=OD．
∴OC=OD，
∴DC=2OC．                                                （8分）
設OA=x，PA=y．則OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）²=x²+（2y）²，即2x²=y²．
∵x＞0，y＞0，
∴y=x，OP==x．                             （9分）
∴sin∠OPA====．                           （10分）
點評：此題考查了切線的判定、切線長定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理、三角函數等知識點，綜合性強，難度大．