Question

（2007•天津）已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：
①abc＜0  ②b＜a+c  ③4a+2b+c＞0  ④2c＜3b  ⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實數）
其中正確的結論的有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答：解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x=1，能得到：a＜0，c＞0，-=1，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，
所以①正確；
②當x=-1時，由圖象知y＜0，
把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴②錯誤；
③圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x=1，
能得到：a＜0，c＞0，-=1，
所以b=-2a，
所以4a+2b+c=4a-4a+c＞0．
∴③正確；
④∵由①②知b=-2a且b＞a+c，
∴2c＜3b，④正確；
⑤圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x=1，能得到：a＜0，c＞0，-=1，
∴b=-2a，
∴a+b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m-2）a，
假設a+b＞m（am+b），（m≠1的實數）
即-a＞m（m-2）a，
所以（m-1）²＞0，
滿足題意，所以假設成立，
∴⑤正確．
故正確結論是①、③，④，⑤共有4個．
故選C．
點評：主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．