【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且滿足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 問當AE長為多少時，四邊形EFGH的面積最小?并求出這個最小值.
【答案】當AE長為2.5時，四邊形EFGH的面積的最小值為37.5
【解析】
設AE=x，則BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，根據S四邊形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH列式后根據二次函數的性質進行求解即可得.
設AE=x，則BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，
∴S四邊形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH
=102－
x(10－4x)－ ·2x(10－x)－ ·3x(10－2x)－ ·4x(10－3x)
=10x2－50x+100，
∵
=2.5，
=37.5，
∴當AE長為2.5時，四邊形EFGH的面積的最小值為37.5.
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【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點G，E為AD的中點，連結BE交AC于F，連結FD，若∠BFA=90°，則下列四對三角形：①△BEA與△ACD②△FED與△DEB③△CFD與△ABG④△ADF與△CFB中相似的為（ ）
A. ①④B. ①②C. ②③④D. ①②③
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【題目】如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A = 50°,∠D =10°，則∠P的度數為( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
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【題目】如圖，在任意四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，E、F、G、H分別是線段BD、BC、AC、AD上的點，對于四邊形EFGH的形狀，某班的學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是（ ）
A. 當E，F，G，H是各條線段的中點時，四邊形EFGH為平行四邊形
B. 當E，F，G，H是各條線段的中點，且AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形
C. 當E，F，G，H是各條線段的中點，且AB=CD時，四邊形EFGH為菱形
D. 當E，F，G，H不是各條線段的中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形
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【題目】（問題情境）
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是 ．
解后反思：題目中出現“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．
（初步運用）
如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長．
（靈活運用）
如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關系，并證明你的結論．
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【題目】2019年5月以來昆明高溫天氣創歷史新高，市民戲稱昆明“春城”變“夏城”，百姓對電風扇的需求量比往年明顯增加．某超市銷售每臺進價分別為
元、
元的
兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：
銷售時段 | 銷售數量 | 銷售收入 | |
|
| ||
第一周 |
|
|
|
第二周 |
|
|
|
（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進貨成本）
（1）求兩種型號的電風扇每臺售價各是多少元？
（2）若超市準備用不多于
元的金額再采購這兩種型號的電風扇共
臺，求
種型號的電風扇最多能采購多少臺？
（3）在（2）的條件下，超市銷售完這臺電風扇能否實現利潤超過
元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．
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