Question

如圖，從一個邊長為2的菱形鐵皮中剪下一個圓心角為60°的扇形．
（1）求這個扇形的面積（結果保留π）．
（2）在剩下的一塊余料中，能否從余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐請說明理由．
（3）當∠B為任意值時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）扇形的面積公式是：S=

nπr2

360

，代入公式就可以求出扇形的面積；
（2）、（3）要判斷能否從余料剪出一個圓與此扇形圍成一個圓錐，就是比較余料部分的內切圓的半徑與圓錐的底面半徑的大小關系．

解答：解：（1）如圖，
∵BA=BC=2，
∴S=

nπR2

360

=

2

3

π；

（2）連接AC、BD，BD交弧AC于E點，圓心在DE上，
由勾股定理：BD=2

3

；
DE=2

3

-2≈1.46，
弧AC的長：l=

nπR

180

=

2π

3

；
∴2πr=

2π

3

，
∴2r=

2

3

≈0.67＜1.46=DE；
另一方面，如圖：由于∠ADE=30°，過O作OF⊥AD，則OD=2OF=2r，因此DE≥3r；
所以能在余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐．

（3）當∠B=90°時，不能剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐．
理由：假設能成立，則弧AC的長：l=

90π×2

180

=π，
則設圓錐的底面半徑是r，則2πr=π，
則r=

1

2

．
∴底面直徑長是：2r=1；
由勾股定理求得：
BD=2

2

，DE=2

2

-2≈0.82＜1=2r；
因此∠B為任意值時，（2）中的結論不一定成立．

點評：圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．