Question

某鎮地理環境偏僻，嚴重制約經濟發展，豐富的花木產品只能在本地銷售．鎮政府對該花木產品每年固定投資x萬元，所獲利潤為萬元．為了響應我國西部大開發的宏偉決策，鎮政府在制定經濟發展的10年規劃時，擬定開發花木產品，而開發前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元．若開發該產品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路；后5年公路修通時，花木產品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售的花木產品，每年固定投資x萬元可獲利潤萬元．
（1）若不進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按此規劃進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（3）若按此規劃進行開發后，后5年所獲利潤共為2400萬元，那么當本地銷售投資金額大于外地銷售投資金額時，每年用于本地銷售投資的金額約為多少萬元？（，，計算結果保留1位小數）

Answer 1

【答案】分析：（1）知道P的二次函數解析式，直接求出最大值，
（2）由題知若對產品開發，前5年，由于每年必須從專項資金中拿出25萬元投資修公路，求出前5年最大利潤，然后再求出后5年的利潤，
（3）由（2）知，令W₃=2400，解得a．
解答：解：（1）由
當x=30時，P_最大=10
即不開發此產品，每年可獲得最大利潤10萬元．
∴不開發此產品，10年的最大利潤為W₁=10×10=100（萬元）；

（2）若對產品開發，前5年，由于每年必須從專項資金中拿出25萬元投資修公路．
∴可用資金只有50-25=25（萬元）
當x=25時，每年最大利潤
∴前5年的最大利潤W₂=9.5×5=47.5（萬元），
設后5年中，a萬元用于本地銷售投資，
則用于外地銷售投資金額為（50-a）萬元．
后5年的利潤
W₃=[]×5+（-a²+a+308）×5
=-5a²+200a+1500
=-5（a-20）²+3500
∵-5＜0
∴當a=20時，W₃取得最大值為3500萬元．
∴10年的最大利潤為W=W₂+W₃=47.5+3500=3547.5（萬元）；

（3）令W₃=2400
則-5a²+200a+1500=2400
∴a²-40a+180=0，

a₁=20+2×7.416=34.832≈34.8萬
a₂=20-2×7.416=5.168≈5.2萬
∵本地投資金額＞外地投資金額
∴a=34.8．
即每年用于本地銷售投資的金額約為34.8．
點評：本題主要考查二次函數的應用，用二次函數解決實際問題，比較簡單．