Question

（10分）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側）. 已知點坐標為（，）.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點作線段的垂線交拋物線于點， 如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間，問：當點運動到什么位置時，的面積最大？并求出此時點的坐標和的最大面積.

Answer 1

（1）解：設拋物線為.
∵拋物線經過點（0，3），∴.∴.
∴拋物線為.      ……………………………3分
(2) 答：與⊙相交.…………………………………………………………………4分
證明：當時，，.
∴為（2，0），為（6，0）.∴.
設⊙與相切于點，連接，則.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵拋物線的對稱軸為，∴點到的距離為2.
∴拋物線的對稱軸與⊙相交. ……………………………………………7分
(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點.
可求出的解析式為.…………………………………………8分
設點的坐標為（，），則點的坐標為（，）.
∴.
∵,
∴當時，的面積最大為.
此時，點的坐標為（3，）. …………………………………………10分

解析