Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂交于點A，B，延長⊙O₂的直徑CA交⊙O₁于點D，延長⊙O₂的弦CB交⊙O₁于點E．已知AC=6，AD：BC：BE=1：1：5，則DE的長是

 

．

Answer 1

分析：連接公共弦AB，構成圓內接四邊形ABED，根據圓內接四邊形的性質，可證明△ABC∽△EDC，從而得出與AD、BC、BE有關的比例線段，根據AD：BC：BE=1：1：5，設線段長度，代入比例式可求CD、CE的長，在Rt△EDC中，用勾股定理求ED．

解答：解：連接AB，在圓內接四邊形ABED中，∠BAC=∠E，∠ABC=∠EDC，
因為AC為⊙O₂直徑，則∠ABC=90°，于是△ABC∽△EDC，
因為AD：BC：BE=1：1：5，
所以，設AD=x，BC=x，BE=5x；
于是：

6

6x

=

x

6+x

，即6x²=36+6x，x²-x-6=0，
解得x=3，x=-2（負值設去），
在Rt△EDC中，ED=

182-92

=9

3

．

點評：本題考查的是對圓心角和圓周角的關系，以及圓的內接四邊形的外角和相應的內對角關系的應用．解答此類題關鍵是通過角的關系，在解題中應用中間角來尋找等量關系．