Question

定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形。

探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90 °，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由。
（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結三角形各邊中點，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形，我們把△DEF（圖乙）第一次順次連結各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）……依次規則操作下去，n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數），設此時小三角形的面積為S_n。
①若△DEF的面積為1000，當n為何值時，3＜S_n＜4?
②當n>1時，請寫出一個反映S_n-1，S_n，S_n+1之間關系的等式（不必證明）

Answer 1

解：（1） 正確畫出分割線CD （如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的 分割線）
理由：∵∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；
（2）① △DEF 經N階分割所得的小三角形的個數為
∴S=
當n=3時，S₃= ≈15.62
當n=4時，S₄ =≈3.91
當n=4時，3＜S₄＜4；
②S²_n= S×S。