Question

如圖，菱形ABCD的邊長為24厘米，∠A=60°，點P從點A出發沿線路AB→BD作勻速運動，點Q從點D同時出發沿線路DC→CB→BA作勻速運動．
（1）求BD的長；
（2）已知點P、Q運動的速度分別為4厘米/秒，5厘米/秒，經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，若按角的大小進行分類，請你確定△AMN是哪一類三角形，并說明理由；
（3）設（2）中的點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，點P的速度不變，點Q的速度改變為a厘米/秒，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形的性質證△ABD是等邊三角形即可；
（2）求出P Q走的距離，再根據等腰三角形性質即可推出答案；
（3）分為三種情況：根據相似，得到比例式，求出Q走的距離，即可求出答案．
解答：解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=24厘米．
答：BD=24厘米．

（2）12秒時，P走了4×12=48，
∵AB+BD=24+24=48，
∴P到D點，
同理Q到AB的中點上，
∵AD=BD，
∴MN⊥AB，
∴△AMN是直角三角形．


（3）有三種情況：如圖（2）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=AD，
根據相似三角形性質得：BF=AN=6，
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，
同理：如圖（1）求出a=2；
如圖（3）a=12．
∴a的值是2或6或12．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，菱形的性質，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．