Question

【題目】綜合題

（1）操作發現：
如圖①，在正方形ABCD中，過A點有直線AP，點B關于AP的對稱點為E，連接DE交AP于點F，當∠BAP=20°時，則∠AFD=°；當∠BAP=α°（0＜α＜45°）時，則∠AFD=；猜想線段DF，EF，AF之間的數量關系：DF﹣EF=AF（填系數）；
（2）數學思考：
如圖②，若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=120°”，其他條件不變，則∠AFD=；線段DF，EF，AF之間的數量關系是否發生改變，若發生改變，請寫出數量關系并說明理由；
（3）類比探究：
如圖③，若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=α°”，其他條件不變，則∠AFD=°；請直接寫出線段DF，EF，AF之間的數量關系： ．

Answer 1

【答案】
（1）45,,45
（2）30
（3）解：（90﹣ ）,DF﹣EF=2sin αAF
【解析】【解析】解：（1）如圖①中，連接BF、作AH⊥AF交DE于H．

當∠PAB=20°時，

∵∠PAB=∠PAE=20°，∠BAD=90°，

∴∠EAD=130°，

∵AB=AE=AD，

∴∠E= （180°﹣130°）=25°，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°，

當∠PAB=α時，∠E= [180°﹣（90°+2α）]=45°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°﹣α+α=45°，

∵∠AFH=45°，∠FAH=90°，

∴AF=AH，

∵∠FAH=∠BAD=90°，

∴∠FAB=∠HAD，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH，

∵EF=BF，

∴DH=EF，

∴DF﹣EF=FH= AF，

所以答案是45，45， ．

⑵如圖②中，連接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．

設∠PAB=α，

則∠E= [180°﹣（120°+2α）=30°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=30°，

∵∠EAH=∠BAD=120°，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=30°，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFcos30°，

∴FH= AF，

∴DF﹣EF= AF，

所以答案是30，改變，DF﹣EF= AF

⑶如圖③中，當∠BAD=α時，設∠PAB=∠PAE=x，連接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．

則∠E= [180°﹣（α+2x）=90°﹣ α﹣x，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=90°﹣ α，

∵∠EAH=∠BAD=α，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=90°﹣ α，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFsin α，

∴FH=2sin αAF，

∴DF﹣EF=2sin αAF．

所以答案是（90﹣ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/24/01/d9b95732/SYS201802240151098887506597_DA/SYS201802240151098887506597_DA.002.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ），DF﹣EF=2sin αAF．
（1）如圖①中，連接BF、作AH⊥AF交DE于H．根據∠AFD=∠E+∠PAE=45°求出∠E即可解決問題；只需要證明△FAB≌△HAD，就可得出結論DF﹣EF=FH= AF解決問題；（2）如圖②中，結論：30°，改變，DF﹣EF= AF，連接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．只需要證明△FAB≌△HAD，FH= AF即可；（3）結論（90﹣ ），DF﹣EF=2sin αAF．如圖③中，當∠BAD=α時，設∠PAB=∠PAE=x，連接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．證明方法類似。

【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)，還要掌握正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)的相關知識才是答題的關鍵．