Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E在邊AB上，∠DEC＝900，且DE＝EC．

（1）求證：△ADE≌△BEC；

（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，請用圖1證明勾股定理：a2＋b2＝c2；

（3）線段AB上另有一點F（不與點E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD＝2，BC＝4，求EF的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)2.

【解析】試題分析：（1）、根據∠DEC＝90°得出∠AED＋∠CEB＝90°，結合∠ADE＋∠AED＝90°得出∠ADE＝∠CEB，從而說明三角形全等；（2）、根據圖形得出△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，然后根據全等得出BE＝a，BC＝b，然后根據面積相等的法則得出答案；（3）、根據題意得出△AFD和△BCF相似，設AF=x，則BF=6-x，從而求出x的值，然后得出EF的長度.

試題解析：（1）如圖1，∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠CEB＝90°，∵∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠ADE＝∠CEB，

在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（AAS）；

（2）、如圖1，∵AB⊥BC，∠DEC＝90°，∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，

∵AD＝a，AE＝b，DE＝c，且DE＝EC，△ADE≌△BEC，∴BE＝a，BC＝b，

∴（a＋b）（a＋b）＝ab＋c2＋ab，

整理得：a2＋b2＝c2；

（3）、如圖2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），則AD＝BE＝2，BC＝AE＝4，

∵DF⊥CF， ∴∠AFD＋∠BFC＝90°，∵∠BFC＋∠BCF＝90°，∴∠AFD＝∠BCF，又∵∠A＝∠B，

∴△AFD∽△BCF，∴，設AF＝x，則BF＝6﹣x，故，

解得：x1＝2，x2＝4， ∵點F不與點E重合， ∴x＝2，∴EF＝6﹣2﹣2＝2．