Question

直線(xiàn)y=x-2與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C．拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)A、C和點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線(xiàn)AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）AC為定值，當(dāng)DE最大時(shí)，△ACD的面積最大，因此只需要求出△ACD面積的最大值即可．如解答圖所示，作輔助線(xiàn)，利用S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG求出S_△ACD的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，并進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和DE的最大值．
解答：解：（1）在直線(xiàn)解析式y(tǒng)=x-2中，令x=0，得y=-2；令y=0，得x=4，
∴A（4，0），C（0，-2）．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點(diǎn)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）在拋物線(xiàn)上，
∴，
解得a=，b=，c=-2．
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²+x-2．

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），則y=x²+x-2．
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=．
如答圖1所示，連接CD、AD．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
則FD=x，DG=4-x，OF=AG=y，F(xiàn)C=y+2．

S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG=（AG+FC）•FG-FC•FD-DG•AG=（y+y+2）×4-（y+2）•x-（4-x）•y
=2y-x-4
將y=x²+x-2代入得：S_△ACD=2y-x-4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△ACD的面積最大，最大值為4．
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，∴D（2，1）．
∵S_△ACD=AC•DE，AC=，
∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí)，高DE最大，
則DE的最大值為：==．
∴當(dāng)D與直線(xiàn)AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），最大距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最值、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．第（2）問(wèn)有多種解法，同學(xué)們可以從不同角度嘗試與探究．