Question

如圖，在平面直角坐標系中，梯形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別為A（-3，0），B（15，0），D（0，4），且CD=10．一條拋物線經過C、D兩點，其頂點M在x軸上，點P從點A出發以每秒5個單位的速度沿AD向點D運動，到點D后又以每秒3個單位的速度沿DC向點C運動，到點C停止；同時，點E從點B出發以每秒5個單位的速度沿BO運動，到點O停止．過點E作y軸的平行線，交邊BC或CD于點Q，交拋物線于點R．設P、E兩點運動的時間為t（秒）．
（1）寫出點M的坐標，并求這條拋物線的解析式．
（2）當點Q和點R之間的距離為8時，求t的值．
（3）直接寫出使△MPQ成為直角三角形時t值的個數．
（4）設P、Q兩點之間的距離為d，當2≤d≤7時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求得C的坐標，則M的坐標即可求得，利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）首先求得直線BC的解析式，當Q和點R之間的距離為8時，PQ一定在C點的右側，則根據Q和點R之間的距離為8，即可得到一個關于x的方程，求得x的值，即E點的橫坐標，則BE即可求得，從而求得時間t；
（3））△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時分別到達D和C，因而△MPQ的頂點P，Q在CD上移動時，三角形的三個角都可能是直角；
（4）首先判斷當當2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上，即可列不等式組求解．

解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AB∥CD，D的坐標是（0，4），CD=10，
∴C的坐標是（10，4），
∴M的坐標是（5，0），
設拋物線的解析式是：y=a（x-5）²，把（0，4）代入得：25a=4，解得：a=

4

25

，
則拋物線的解析式是：y=

4

25

（x-5）²；
（2）設直線BC的解析式是y=kx+b，根據題意得：

15k+b=0 10k+b=4

，解得：

k=- 4 5 b=12

，則直線的解析式是：y=-

4

5

x+12，
根據題意得：

4

25

（x-5）²-（-

4

5

x+12）=8，解得：x=

5±5 17

2

（x=

5-5 17

2

＜0，故舍去），
則x=

5+5 17

2

．即OE=

5+5 17

2

，BE=OB-OE=15-

5+5 17

2

=

25-5 17

2

，則t=

BE

5

=

5- 17

2

；
（3）△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時分別到達D和C．
因而△MPQ的頂點P，Q在CD上移動時，三角形的三個角都可能是直角，成為直角三角形；
點Q到達點D停止，但點P還在運動，還會出現一個直角三角形，故t的值有4個；
（4）作CF⊥AB于F．
則BF=5，
在直角△AOD中，AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵點P從點A出發以每秒5個單位的速度沿AD向點D運動，點E從點B出發以每秒5個單位的速度沿BO運動．
∴P從A到D，以及E由B到F，即Q到達C，都需要1秒．
∵CD=10＞7，
∴當2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上．
設經過x秒，P、Q相遇，則3（x-1）+5（x-1）=10，解得：x=

9

4

，
設經過t秒，P、Q兩點之間的距離為d，且2≤d≤7，當P、Q相遇以前時：則PQ=10-3（t-1）-5（t-1）=18-8t，
則2≤18-8t≤7，
解得：

11

8

≤t≤2．
相遇以后，即t≥

9

4

時：PQ=3（t-

9

4

）+5（t-

9

4

）=8t-18，則2≤8t-18≤7，當3（t-1）=7時，t=

10

3

解得：

5

2

≤t≤

10

3

．
總之，t的取值范圍是：

11

8

≤t≤2或

5

2

≤t≤

10

3

．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及方程與不等式組的應用，正確判斷當2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上是關鍵．