Question

（2013•閘北區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，EC和BD相交于點O，聯(lián)接DE．
（1）求證：△EOD∽△BOC；
（2）若S_△EOD=16，S_△BOC=36，求

AE

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）首先證明△BOE∽△COD，由相似三角形的性質可得

OE

OB

=

OD

OC

，又因為∠EOD=∠BOC，所以：△EOD∽△BOC；
（2）由面積之比可得到對應邊之比即

OD

OC

=

2

3

，在△ODC與△EAC中，因為∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，所以△ODC∽△AEC，利用相似的性質即可求出

AE

AC

的值．

解答：（1）證明：在△BOE與△DOC中，
∵∠BEO=∠CDO，∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴

OE

OD

=

OB

OC

，
即

OE

OB

=

OD

OC

，
又∵∠EOD=∠BOC，
∴△EOD∽△BOC；

（2）解：∵△EOD∽△BOC
∴

S△EOD

S△BOC

=(

OD

OC

)2，
∵S_△EOD=16，S_△BOC=36，
∴

OD

OC

=

2

3

，
在△ODC與△EAC中，
∵∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，
∴△ODC∽△AEC，
∴

OD

AE

=

OC

AC

，
即

OD

OC

=

AE

AC

，
∴

AE

AC

=

2

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．