Question

（2007•太原）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題（1）．

（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）在證明了該命題后，小喬發現：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數；
（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內角的度數．（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形．）
（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規律的非等腰三角形的特征．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊對等角，及角平分線定義易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°則可得AD=BD=CB∴△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分為兩個小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中線等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線把直角三角形分為兩個等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個角要么是2倍關系，要么是3倍關系，可猜測只要所給的三個角中有2個角是2倍或3倍關系都可得到上述圖形；
（4）按照發現的（3）的特點來寫，注意去掉特殊三角形的形式．
解答：（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，（1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD與△BDC都是等腰三角形．

（2）解：如下圖所示：


（3）解：如圖所示：


（4）解：
特征一：直角三角形（直角邊不等）；
特征二：2倍內角關系，如圖①．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36°，a≠；
特征三：3倍內角關系，如圖②．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36度．
點評：本題考查了等腰三角形的判定；注意應根據題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個等腰三角形的一般結論．