Question

在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點．連接BE、EF．

（1）求證：EF=BF；
（2）在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG：GD=3：1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形性質推出BD=2BO，推出AB=BO，根據三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據直角三角形斜邊上中線性質求出EF=BF=CF即可；
（2）根據矩形性質和已知求出G為OD中點，根據三角形中位線求出EG∥AD，EG=BC，求出EG∥BC，EG=BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四邊形，根據菱形的判定推出即可．
解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E為OA中點，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F為BC中點，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；

（2）四邊形EBFG是菱形，
證明：連接CG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，
∴BD=2AB=2CD，
∴OC=CD，
∵BG：GD=3：1，OB=OD，
∴G為OD中點，
∴CG⊥OD（三線合一定理），
即∠CGB=90°，
∵F為BC中點，
∴GF=BC=AD，
∵E為OA中點，G為OD中點，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴EG∥BC，EG=BC，
∵F為BC中點，
∴BF=BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四邊形EBFG是平行四邊形，
∵EG=GF，
∴平行四邊形EBFG是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形性質，菱形性質，三角形的中位線，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形的性質等知識點，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．