Question

【題目】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=6，D，E分別是AB，AC的中點，若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．

（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于　　，線段CE1的長等于　　；

（2）如圖2，當α=135°時，設直線BD1與CA的交點為F，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；

（3）點P到AB所在直線的距離的最大值是　　．

Answer 1

【答案】（1）當α=90°時，線段BD1的長等于，線段CE1的長等于；

（2）證明見解析；

（3）點P到AB所在直線的距離的最大值是.

【解析】試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理分別得出BD1的長和E1C的長；
（2）根據旋轉的性質得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當B D1所在直線與⊙A相切時，直線B D1與C E1的交點P到直線AB的距離最大，此時四邊形A D1P E1是正方形，進而求出PG的長．

試題解析：（1）∵∠CAB=90°，AC=AB=6，D，E分別是邊AB，AC的中點，

∴AE=AD=3，

∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0＜α≤180°），

∴當α=90°時，AE1=3，∠E1AE=90°，

∴BD1==3，E1C==3；

故答案為：3，3；

（2）證明：當α=135°時，如圖2，連接CE1，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

，

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

記直線BD1與AC交于點F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，

∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

∴當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，

此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=3，則BD1==3，

故∠ABP=30°，

則PB=3+3，

故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=，

故答案為：．