Question

9．如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．
（1）求證：CO平分∠ACD；
（2）求證：AB+CD=AC．

Answer 1

分析 （1）過O點作OE⊥AC于點E，利用角平分線的性質定理以及判定定理即可證明．
（2）由Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），推出AB=AE，由Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），推出CD=CE，推出AB+CD=AE+CE=AC．

解答 證明：（1）過O點作OE⊥AC于點E．
∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC
∴OB=OE，
又∵O是BD中點
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，∠D=90°
∴點O在∠ACD 的角平分線上
∴OC平分∠ACD．

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中
∵$\left\{\begin{array}{l}OA=OA\\ OB=OE\end{array}\right.$
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB=AE，
在Rt△CDO和Rt△CEO中
∵$\left\{\begin{array}{l}OC=OC\\ OE=OD\end{array}\right.$
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD=CE，
∴AB+CD=AE+CE=AC．

點評 本題考查角平分線的性質定理以及判定定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．