Question

如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t=2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；
（2）設△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式；
（3）作QR∥BA交AC于點R，連接PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=2時，可分別計算出BP、BQ的長，再對△BPQ的形狀進行判斷；
（2）∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長可用t表示，S與t的函數關系式也可求；
（3）由題目線段的長度可證得△CRQ為等邊三角形，進而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
解答：解：（1）△BPQ是等邊三角形
當t=2時
AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB-AP=6-2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等邊三角形；

（2）過Q作QE⊥AB，垂足為E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=t
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=×BP×QE=（6-t）×t=-t
∴S=-t；

（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形
∴QR=RC=QC=6-2t
∵BE=BQ•cos60°=×2t=t
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四邊形EPRQ是平行四邊形
∴PR=EQ=t
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=
即
解得t=
∴當t=時，△APR∽△PRQ．
點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的判定及性質、三角形相似、移動的特征、解直角三角形、函數等知識．難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．