Question

已知拋物線y=ax²+bx經過點A（-2，0），頂點為（-1，1）．
（1）確定拋物線的解析式．
（2）直線y=-3與拋物線相交于B，C兩點（B點在C點左側），以BC為一邊，原點O為另一頂點作平行四邊形，設平行四邊形的面積為S，求S的值．
（3）若以（2）小題中BC為一邊，拋物線上的任一點P為另一項點作平行四邊形，當平行四邊形面積為8時，試確定P點的坐標．
（4）當-4≤x≤2時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A與頂點坐標代入拋物線解析式進行計算求出a、b的值，然后即可得解；
（2）聯立直線y=-3與拋物線解析式求出點B、C的坐標，然后求出BC的長度，再根據平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；
（3）先根據平行四邊形的面積求出點P到BC的距離，然后求出點P的縱坐標，再代入拋物線解析進行計算求出點P的橫坐標，從而得解；
（4）根據拋物線解析式設點P的坐標為（x，-x²-2x），然后分①點P在BC邊的上方時，表示出點P到BC的距離，然后根據二次函數的增減性求出距離的最大值，②點P在BC的下方時，表示出點P到BC的距離，然后根據二次函數的增減性求出距離的最大值，然后二者比較，從而得解．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經過點A（-2，0），頂點為（-1，1），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x；

（2）聯立，
解得，，
∵B點在C點左側，
∴點B（-3，-3），C（1，-3），
∴BC=1-（-3）=1+3=4，
又∵平行四邊形以BC為一邊，原點O為另一頂點，
∴S=4×3=12；

（3）設點P到BC的距離為h，
則BC•h=8，
即4h=8，
解得h=2，
①當點P在BC的上方時，點P的縱坐標為-3+2=-1，
此時，-x²-2x=-1，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，點P的坐標為（-1-，-1）或（-1+，-1），
②當點P在BC下方時，點P的縱坐標為-3-2=-5，
此時，-x²-2x=-5，
整理得，x²+2x-5=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，點P的坐標為（-1-，-5）或（-1+，-5）；
綜上所述，平行四邊形面積為8時，點P的坐標為（-1-，-1）或（-1+，-1）或（-1-，-5）或（-1+，-5）；

（4）設點P的坐標為（x，-x²-2x），
①點P在BC邊的上方時，點P到BC的距離為-x²-2x-（-3）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵點B（-3，-3），C（1，-3），
∴x的取值范圍為-3＜x＜1，
∴當x=-1時，距離有最大值，為4，
②點P在BC的下方時，點P到BC的距離為-3-（-x²-2x）=x²+2x-3=（x+1）²-3，
∵點B（-3，-3），C（1，-3），
∴在-4≤x≤2范圍內，x的取值范圍為-4≤x＜3或1＜x≤2，
∴當x=-4或x=2時，距離有最大值，為（-4+1）²-3=5，
∵5＞4，
∴當點P在BC的下方時，在-4≤x≤2范圍內，平行四邊形的面積有最大值，
最大值為：4×5=20，
此時，-x²-2x=-（-4）²-2×（-4）=-16+8=-8，
-x²-2x=-2²-2×2=-4-4=-8，
所以點P的坐標為（-4，-8）或（2，-8），
故，存在點P（-4，-8）或（2，-8），使在-4≤x≤2范圍內，平行四邊形的面積有最大值．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要涉及待定系數法求二次函數解析式，平行四邊形的面積，二次函數的最值問題，難點在于（3）（4）兩題要分情況進行討論求解．