Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據切線的判定推出即可；
（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；
（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC為半徑，
∴EF是⊙O的切線．

（2）證明：連接BC，
∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．

（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=AC=×2=1，
由勾股定理得：DC=，
∴陰影部分的面積是S=S_梯形OCDA-S_扇形OCA=×（2+1）×-=-π．
點評：本題考查了切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定，梯形的性質，扇形的面積等知識點的應用，主要考查學生能否運用性質進行推理和計算，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．