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如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經過點C,AD⊥EF于點D,∠DAC=∠BAC.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)求證:AC2=AD•AB;
(3)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.
【答案】分析:(1)連接OC,根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出OC∥AD,得出OC⊥EF,根據切線的判定推出即可;
(2)證△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案;
(3)求出等邊三角形OAC,求出AC、∠AOC,在Rt△ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面積,相減即可得出答案.
解答:(1)證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD,
∵AD⊥EF,
∴OC⊥EF,
∵OC為半徑,
∴EF是⊙O的切線.

(2)證明:連接BC,
∵AB為⊙O直徑,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ACB∽△ADC,
=,
∴AC2=AD•AB.

(3)解:∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,
∴∠OCA=60°,
∵OC=OA,
∴△OAC是等邊三角形,
∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,
∵在Rt△ACD中,AD=AC=×2=1,
由勾股定理得:DC=,
∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=×(2+1)×-=-π.
點評:本題考查了切線的性質和判定,相似三角形的性質和判定,梯形的性質,扇形的面積等知識點的應用,主要考查學生能否運用性質進行推理和計算,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目.
練習冊系列答案
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8、如圖,AB是鉛直地豎立在坡角為30°的山坡上的電線桿,當陽光與水平線成60°角時,電線桿的影子BC的長度為4米,則電線桿AB的高度為( 。

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(1)計算出弧AB所對的圓心角的度數(精確到0.01度)及弧AB的長度;(精確到0.1cm)
(2)計算出遮雨罩一個側面的面積;(精確到1cm2
(3)制做這個遮雨罩大約需要多少平方米的玻璃鋼材料.(精確到精英家教網0.1平方米)

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已知如圖,AB是半圓直經,△ACD內接于半⊙O,CE⊥AB于E,延長AD交EC的延長線于F,求證:AC·CD=AD·FC.

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如圖,AB是鉛直地豎立在坡角為30°的山坡上的電線桿,當陽光與水平線成60°角時,電線桿的影子BC的長度為4米,則電線桿AB的高度為


  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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