Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；

（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；

（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）y=a（x﹣3）（x+1）；點B（1，4）

（2）見解析

（3）見解析

（4）s=

【解析】

（1）由題意，設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．

將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x²+2x+3．

則點B（1，4）．

（2）證明：如圖1，過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

 

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；

①DE為斜邊時，P₁在x軸上，此時P₁與O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點是符合條件的P₁點，坐標為（0，0）．

②DE為短直角邊時，P₂在x軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；

而DE==，則DP₂=DE÷sin∠DP₂E=÷=10，OP₂=DP₂﹣OD=9

即：P₂（9，0）；

③DE為長直角邊時，點P₃在y軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；

則EP₃=DE÷cos∠DEP₃=÷=，OP₃=EP₃﹣OE=；

綜上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，﹣）．

 

（4）解：設直線AB的解析式為y=kx+b．

將A（3，0），B（1，4）代入，得解得

∴y=﹣2x+6．

過點E作射線EF∥x軸交AB于點F，當y=3時，得x=，∴F（，3）．

情況一：如圖2，當0＜t≤時，設△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G．

則ON=AD=t，過點H作LK⊥x軸于點K，交EF于點L．

由△AHD∽△FHM，得，即．

解得HK=2t．

∴S_陰=S_△MND﹣S_△GNA﹣S_△HAD=×3×3﹣（3﹣t）²﹣t•2t=﹣t²+3t．

情況二：如圖3，當＜t≤3時，設△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）．

∴S_陰=S_△IQA﹣S_△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）²=（3﹣t）²=t²﹣3t+．

綜上所述：s=．