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如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動,設AP=x,現將紙片折疊,使點D與點P重合,得折痕EF(點E、F為折痕與矩形邊的交點),再將紙片還原.
(1)當x=0時,折痕EF的長為______;當點E與點A重合時,折痕EF的長為______
【答案】分析:(1)當x=0時,點A與點P重合,則折痕EF的長等于矩形ABCD中的AB,當點E與點A重合時,折痕是一個直角的角平分線,可求EF=
(2)由題意可知,EF垂直平分線段DP,要想使四邊形EPFD為菱形,則EF也應被DP平分,所以點E必須要在線段AB上,點F必須在線段DC上,即可確定x的取值范圍.再利用勾股定理確定菱形的邊長.
(3)構造直角三角形,利用相似三角形的對應線段成比例確定y的值,再利用二次函數的增減性確定y的最大值.
解答:解:(1)當x=0時,折痕EF=AB=3,當點E與點A重合時,折痕EF==

(2)1≤x≤3.
當x=2時,如圖,連接PE、PF.
∵EF為折痕,
∴DE=PE,
令PE為m,則AE=2-m,DE=m,
在Rt△ADE中,AD2+AE2=DE2
∴1+(2-m)2=m2,解得m=
此時菱形邊長為

(3)如圖2,過E作EH⊥BC;
∵△EFH∽△DPA,

∴FH=3x;
∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2
當F與點C重合時,如圖3,連接PF;

∵PF=DF=3,
∴PB=
∴0≤x≤3-2
∵函數y=9+9x2的值在y軸的右側隨x的增大而增大,
∴當x=3-2時,y有最大值,
此時∠EPF=90°,△EAP∽△PBF.
綜上所述,當y取最大值時△EAP∽△PBF,x=3-2
點評:此題是一道綜合性較強的題目,主要考查學生的圖感,利用折疊過程中的等量關系尋找解題途徑;特別是最后一問中涉及到的知識點比較多,需要同學們利用相似三角形的性質確定函數關系式后再根據自變量的取值范圍來確定二次函數的最值問題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,點P從點A出發以1cm/s的速度向點B運動,點Q從點B出發以2cm/s的速度向點C運動,設經過的時間為xs,△PBQ的面積為ycm2,則下列圖象能反映y與x之間的函數關系的是(  )
A、精英家教網B、精英家教網C、精英家教網D、精英家教網

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如圖,在矩形ABCD中,點O在對角線AC上,以OA的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE精英家教網
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半徑.

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(1)請解釋圖中點H的實際意義?
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如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E為線段BC上的動點(不與B、C重合).連接DE,作EF⊥DE,EF與AB交于點F,設CE=x,BF=y.
(1)求y與x的函數關系式;
(2)x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
(3)若設線段AB的長為m,上述其它條件不變,m為何值時,函數y的最大值等于3?

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