Question

如圖，已知這是從正方形材料上剪裁下一個最大的圓形后剩下的邊角廢料中的一塊，其中AO⊥OB，并且AO=BO，當AO=1時，求在此圖形中可裁剪出的最大的圓的半徑．

Answer 1

分析：本題中可將原正方形材料還原，通過示意圖可知裁剪出的最大的圓與弧AB所在的圓外切，同時還與AO、BO相切，連接兩圓圓心，結合小圓與OA、OB的切點，可構造直角三角形，進而利用勾股定理和方程解決問題．

解答：解：由題意，將原正方形材料還原，設其圓心為C，則該圓與AO、BO分別切于點A、點B，
連接CO，設點D是CO上一點，以點D為圓心作圓切AO、BO于E、F，切弧AB于N點，則⊙D就是所求的最大的圓．
過D點作DM⊥CA于M，連接DE、DF，則可證四邊形MDEA是矩形；設⊙D半徑為x，在Rt△CDM中，
CD²=DM²+CM²，即（1+x）²=（1-x）²+（1-x）²，整理得x²-6x+1=0，
解得x₁=3-2

2

，x₂=3+2

2

（不合題意，舍去）
答：最大圓的半徑為3-2

2

．

點評：這類題目體現了數形結合的思想，需利用圓與圓的外切及圓與直線相切的性質，結合勾股定理，利用方程來解決問題，另外還要注意解的取舍．