Question

如圖1，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D從點C出發，以2cm/s的速度沿CB勻速運動，點E從點C出發，以1cm/s的速度沿CA勻速運動．當點D到達點B時，點D、E同時停止運動．過點D作BC的垂線l交AB于點P，連接DE、PE．設點E的運動時間為t（s）（t＞0）．
（1）當t為何值時，△PDE的面積為4.5cm²？
（2）當t為何值時，△PDE的外心恰好在它的一條邊上？
（3）作點E關于直線l的對稱點E′．是否存在某一時刻t，使點E′恰好落在△ABC的外接圓上？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據DP∥AC得到△BDP∽△BCA，利用相似三角形對應邊的比相等表示出DP=6-

3

2

t，利用若△PDE的面積為4.5列出有關t的方程求得t值即可；
（2）分當∠PED=90°和當∠DPE=90°時，分別利用△CDE∽△EPD，和線段CE=DP兩種情況得到有關t的方程求解即可；
（3）分別表示出ON=3-t，NE′=4t-4，在Rt△ONE中利用勾股定理得到ON²+NE²=OE²，從而得到有關t的一元二次方程求解，但要注意舍去不符合題意的根．

解答：解：（1）由題意得BD=8-2t，
∵DP∥AC
∴△BDP∽△BCA，
∴

BD

BC

=

DP

AC

∴

8-2t

8

=

DP

6

∴DP=6-

3

2

t
若△PDE的面積為4.5，
則

1

2

（6-

3

2

t）×2t=4.5
解得：t=1或3，
∴當t=1或3時，△PDE的面積為4.5；

（2）顯然，∠PDE≠90°，
當∠PED=90°時，如圖1，
△CDE∽△EPD，
∴

CE

DE

=

DE

DP

∴

t

5 t

=

5 t

6- 3 2 t

解得：t=

12

13

當∠DPE=90°時，如圖2，
CE=DP
∴t=6-

3

2

t
解得：t=

12

5

∴當t=

12

13

或

12

5

時，△PDE的外心恰好在它的一條邊上．

（3）存在；
如圖3，設AB的中點為O，過點O作OM⊥BC交EE′于點N，ON=3-t，NE′=4t-4，
在Rt△ONE中，ON²+NE²=OE²
∴（3-t）²+（4t-4）²=25
解得：t=0（舍去），t=

38

17

點評：本題考查了相似三角形的綜合知識，特別是題目中多次用到的利用相似三角形的對應邊成比例得到有關時間t的方程，充分體現了方程思想，能有機的和中考題結合起來．