Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4，0）、（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，當兩動點運動了t秒時．
（1）P點的坐標為

 

（用含t的代數式表示）；
（2）記△MPA的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜4）；
（3）當t=

 

秒時，S有最大值，最大值是

 

；
（4）若點Q在y軸上，當S有最大值且△QAN為等腰三角形時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形CPN中，根據CP的長和∠BPA的三角函數值求出CN、PN的長，即可表示出P點的坐標；
（2）三角形MPA中，MA的長易得出，MA上的高就是P點的縱坐標，由此可得出S，t的函數關系式；
（3）根據（2）的函數關系可得出S的最大值，及對應的t的值；
（4）本題要分三種情況進行討論：①QN=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可設Q點的坐標，然后表示出NQ、NA、QA的長，根據上述三種情況中不同的等量關系可求出不同的Q點坐標，然后用待定系數法即可求出直線AQ的解析式．

解答：解：（1）（4-t，

3t

4

）；

（2）S=-

3

8

t²+

3

2

t（0＜t＜4）；

（3）由（2）知：S=-

3

8

t²+

3

2

t=-

3

8

（t-2）²+

3

2

，
因此當t=2時，S_max=

3

2

；

（4）由（3）知，當S有最大值時，t=2，此時N在BC的中點處，如圖，
設Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ²=16+y²，QN²=4+（3-y）²，AN²=13，
∵△QAN為等腰三角形，
①若AQ=AN，此時方程無解，
②若AQ=QN，解得y=-

1

2

，
③若QN=AN，解得y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，-

1

2

），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
當Q為（0，-

1

2

），直線AQ的解析式為y=

x

8

-

1

2

，
當Q為（0，0）時，A（4，0）、Q（0，0）均在x軸上，
直線AQ的解析式為y=0（或直線為x軸），
當Q為（0，6）時，Q、N、A在同一直線上，△ANQ不存在，舍去，
故直線AQ的解析式為y=

x

8

-

1

2

或y=0．

點評：本題考查了矩形的性質、等腰三角形的判定、圖形面積的求法及二次函數的應用等知識．要注意（4）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下，要分類討論，不要漏解．