Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c與坐標軸分別交于A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是拋物線的頂點，P是x軸下方的拋物線上的一點，若∠PBA=∠CBD，求點P的坐標；
（3）連接DC并延長交x軸于E點（如圖2）．若將拋物線沿其對稱軸上、下平移，使拋物線與線段DE總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

【答案】分析：（1）把A、B、C三點坐標代入二次函數解析式，可得關于a、b、c的三元一次方程組，解即可；
（2）連接CD，過C點作CH⊥BD于H．根據二次函數解析式易求其頂點坐標D（-1，4），再結合兩點之間的距離公式易求CD、BC、BD，設DH=x，BP交y軸于F，在Rt△CDH和Rt△CBH中，利用勾股定理可得DC²-DH²=CB²-BH²，即，解可求DH，進而可求BH、CH，由于∠PBA=∠CBD，易證Rt△FBO∽Rt△CBH，
利用比例線段可求OF，容易得出直線BP的解析式，然后把此直線的解析式與二次函數解析式聯合解方程組，易求P點坐標；
（3）若拋物線沿其對稱軸向下平移m（m＞0）個單位，那么y=-x²-2x+3-m，根據C、D坐標，以求過C、D的直線解析式，兩個解析式聯合，易得關于x的一元二次方程，若總有公共點，那么△≥0，進而可求m的取值范圍，從而可得m的最大值；
若拋物線沿其對稱軸向上平移n（n＞0）個單位，那么y=-x²-2x+3+n，根據直線CD的解析式，易求E點坐標（3，0），把x=3代入二次函數解析式，可得y=n-12，由于拋物線與線段DE總有交點，那么必須n-12≤0，即n≤12，可得0＜n≤12，易得n的最大值．
解答：解：（1）把（-3，0）（1，0）（0，3）代入y=ax²+bx+c可得
，
解得，
∴y=-x²-2x+3；

（2）連接CD，過C點作CH⊥BD于H．
∵y=-x²-2x+3；
∴頂點D的坐標是（-1，4），
∵B（1，0）、C（0，3），
∴，BD=2，，
設DH=x，BP交y軸于F，
在Rt△DCH中，CH²=DC²-DH²，
在Rt△HBC中，CH²=CB²-BH²，
∴DC²-DH²=CB²-BH²，
∴，
∴，
∴．
在Rt△BCH中，．
∵∠FBO=∠CBH，
∴Rt△FBO∽Rt△CBH，
∴，
即，
∴．
∵B（1，0），
可得直線BP的解析式為．
解方程組，
得
∴，；

（3）①若拋物線沿其對稱軸向下平移m（m＞0）個單位．
∴y=-x²-2x+3-m，
∵直線CD：y=-x+3，
由消去y，得x²+x+m=0．
要使拋物線與線段DE總有交點，必須△=1-4m≥0，
得．
∴．
∴若拋物線向下平移，最多可平移個單位長度．
②當y=0，-x+3=0得x=3，
∴E（3，0），
若拋物線沿其對稱軸向上平移n（n＞0）個單位，
∴y=-x²-2x+3+n．
∴當x=3，y=n-12．
要使拋物線與線段DE總有交點，必須n-12≤0，
∴n≤12．
∴0＜n≤12．
∴若拋物線向上平移，最多可平移12個單位長度．
綜上可知，拋物線沿其對稱軸上、下平移，使拋物線與線段DE總有公共點，則向上最多可平移12個單位長度，向下最多可平移個單位長度．
點評：本題考查了二次函數綜合題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，以及靈活使用兩點之間的距離公式、勾股定理，相似三角形的判定和性質，注意二次函數與直線的交點問題．