Question

如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2

3

，以AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是優(yōu)弧

AB

上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AC、BC分別交⊙M于點(diǎn)D、E，則線段CD的最大值為（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  3

  -2
• D．4-2

  3

Answer 1

分析：如圖1，連OM，OB，OA，BD．根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可求出∠BOM的度數(shù)，∠C=∠BOM=60°．由“直徑所對的圓周角是直角和30度角所對的直角邊”可以求得CD=

1

2

BC．當(dāng)BC取最大值時(shí)，CD最大．

解答：解：如圖：連接OM，OB，OA，BD．
則在Rt△OMB中，
∵OB=2，MB=

3

，
∴OM=1．
∵OB=2，
∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
連接OA．則∠AOB=120°．
∴∠C=

1

2

∠AOB=60°．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=

1

2

BC，
∴當(dāng)BC取最大值時(shí)，CD最大．
如圖2，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC最大，此時(shí)點(diǎn)A、D重合．即BC=4．
∴CD_最大=2．
故選B．

點(diǎn)評：本題綜合考查了相交兩圓的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及含30度角的直角三角形．根據(jù)題意推知點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，CD可以取得最大值是解題的難點(diǎn)．