Question

（2013•唐山一模）如圖，△ABC中，P是BC上一點，PQ⊥AB，垂足為Q，PQ=10，∠B=30°，∠PAB=45°，以A為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖所示的坐標系．
（1）點B的坐標為

（-10-10

3

，0）

，點P的坐標為

（-10，10）

．
（2）如果AC與x軸的正半軸的夾角為75°，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PQB中求出BQ，在Rt△PQA中求出AQ，即可得出點B及點P的坐標；
（2）先判定△APQ是等腰直角三角形，然后求出PA的長，再求出PB的長，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出∠C=45°，然后求出△BAP和△BAC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可求出AC的長．

解答：解：（1）在Rt△PQB中，∠B=30°，PQ=10，
則BQ=10

3

，
在Rt△PQA中，PQ=10，∠PAB=45°，
則AQ=PQ=10，
故可得點B的坐標為（-10-10

3

，0），點P的坐標為（-10，10）；

（2）∵PQ⊥AB，∠PAB=45°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∵PQ=10，
∴PA=10

2

，
∵∠B=30°，
∴PB=2PQ=20，
∵∠B=30°，AC與x軸的正半軸的夾角為75°，
∴∠C=75°-30°=45°，
∴∠C=∠PAB=45°，
又∵∠B=∠B=30°，
∴△BAP∽△BAC，
∴

AP

AC

=

PB

AB

，
即

10 2

AC

=

20

10+10 3

，
解得AC=

2

（5+5

3

）=5

2

+5

6

，
所以，AC的長為5

2

+5

6

．

點評：本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質，綜合性較強，難點在第二問，關鍵在于利用外角的性質判斷出∠B=∠C．