Question

（2005•中原區）已知：如圖，AB是⊙O₁與⊙O₂的公共弦，過B點的直線CD分別交⊙O₁于C點，交⊙O₂于D點，∠BAD的平分線AM交⊙O₁于E點，交直線CD于F點，交⊙O₂于M點．
（1）連接DM、CE，請在圖中（不添加別的“點”和“線”）找出與△DFM相似的所有三角形，并選擇其中一個三角形，證明它與△DFM相似；
（2）設CD=12，CB=5，DF=4，AF=3FM，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，∠FDM=∠FAB=∠C，∠DFM=∠CFE，可證△DFM∽△CEF，△DFM∽△AFB，又AM平分∠BAD，即得MDF=∠DAM，又∠M=∠M，易證△DFM∽△ADM，與△DFM相似的三角形有：△CEF、△AFB、△ADM；
（2）根據圓的相交弦定理和圓的切割線定理求解．
解答：解：（1）與△DFM相似的三角形有：△CEF、△AFB、△ADM，（3分）
（少寫一個相似三角形扣（1分），扣完為止）
證明：∵∠FDM=∠FAB=∠C，∠DFM=∠CFE，
∴△DFM∽△CEF，△DFM∽△AFB
∵AM平分∠BAD
∴∠DAF=∠FAB
∵∠MDF=∠FAB
∴∠MDF=∠DAM
又∠M=∠M
∴△DFM∽△ADM；（5分）
（只要證明其中一個三角形與△DFM相似即可）

（2）BF=CD-CB-DF=3，
由圓的相交弦定理，得DF•BF=AF•MF，即4×3=3MF²，
解得MF=2，故AF=6，（7分）
由圓的切割線定理，得FE•FA=FB•FC，即6FE=3×8，
解得EF=4．（8分）
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定、相交弦定理、切割線定理和圓周角定理．