Question

當拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點及拋物線上一點P組成以P為直角頂點的直角三角形時，則點P的坐標（　　）

A．只與a有關

B．只與b有關

C．只與c有關

D．與a、b、c均有關

Answer 1

分析：設拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線上一點P（x₀，y₀）．先由韋達定理得出x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．再過P作PM⊥x軸于M，易證△APM∽△PBM，根據相似三角形對應邊成比例得出PM²=BM×AM，即y₀²=（x₂-x₀）•（x₀-x₁），然后由點P是拋物線y=ax²+bx+c上的一點，將y₀=ax₀²+bx₀+c代入，整理后得出y₀=-

1

a

，x₀=

-b± b2-4ac-4

2a

，即可判斷．

解答：解：設拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線上一點P（x₀，y₀）．
∵點A、B是拋物線y=ax²+bx+c與x軸交點，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩個根，則由韋達定理x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．
過P作PM⊥x軸于M，
∵A（x₁，0），B（x₂，0），P（x₀，y₀），
∴PM=|y₀|，BM=x₂-x₀，AM=x₀-x₁．
∵在△PAB中，∠APB=90°，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠PBA+∠BPM=90°，
∴∠BPM=∠PAB，
∴△APM∽△PBM，
∴

PM

BM

=

AM

PM

，
∴PM²=BM×AM，
∴y₀²=（x₂-x₀）•（x₀-x₁），
整理得：x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂+y₀²=x₀²+

b

a

•x₀+

c

a

+y₀²=0，
即x₀²+

b

a

•x₀+

c

a

+y₀²=0，
兩邊同時乘以a，得ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，
∵點P是拋物線y=ax²+bx+c上的一點，
所以y₀=ax₀²+bx₀+c，
∴將其代入ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，得
y₀+ay₀²=0，
即y₀•（1+ay₀）=0．
∵點P不與點A、B重合，
∴y₀≠0，
∴y₀=-

1

a

，
∴x₀=

-b± b2-4ac-4

2a

．
故選D．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，相似三角形的判定與性質，韋達定理，解一元二次方程，難度較大．