Question

已知拋物線y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1）．
（1）證明拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）問該拋物線與x軸的交點分布情況（指交點落在x軸的正、負半軸或在原點等情形），并說明理由；
（3）設拋物線的頂點為C，且與x軸的兩個交點A、B，問是否存在以A、B、C為頂點的直角三角形并證明你的結論．（需要畫拋物線示意圖，請用如下坐標系）

Answer 1

分析：（1）令y=0即x²+kx+k-1=0，根據元二次方程根的判別式，△＞0，即可得出該拋物線與x軸有兩個交點．
（2）根據一元二次方程x²+kx+k-1=0根與系數的關系，及k的取值范圍可求出，兩根之積的正負，判斷出拋物線與x軸的交點分布情況．
（3）假設存在符合條件的直角三角形．根據拋物線的對稱性可知AB=BC，于是點A，B不可能為Rt△ABC的直角頂點，只有點C可以為Rt△ABC的直角頂點，由拋物線的對稱性和直角三角形的性質，可知AB的中點M恰是對稱軸與x軸的交點，即CM的長為拋物線頂點的縱坐標的絕對值，根據拋物線y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1），可用k表示出頂點坐標，根據一元二次方程x²+kx+k+1=0根與系數的關系可用k表示出兩根的值，再根據直角三角形的性質及k的取值范圍可求出k的值．

解答：（1）證明：由一元二次方程x²+kx+k-1=0根的判別式，△=k²-4（k-1）=k²-4k+2=（k-2）²＞0，
故該拋物線與x軸有兩個交點．

（2）解：設拋物線與x軸交點的橫坐標為x₁，x₂，則x₁，x₂是方程x²+kx+k-1=0的兩個實根，
由根與系數的關系得x₁•x₂=k-1，
∵-1＜k＜1，
∴x₁x₂＜0，
∴該拋物線與x軸的兩個交點分別落在x軸的正負半軸上．

（3）解：存在符合條件的直角三角形．
證明：如圖所示，由拋物線的對稱性可知AB=BC，于是點A，B不可能為Rt△ABC的直角頂點，
∴只有點C可以為Rt△ABC的直角頂點，設點C為△ABC的直角頂點，由拋物線的對稱性和直角三角形的性質，可知AB的中點M恰是對稱軸與x軸的交點，
∴CM的長為拋物線頂點的縱坐標的絕對值．
即CM=|-

(k-2)2

4

|=

(k-2)2

4

．
設A（x₁，0）B（x₂，0），（由（2）可知x₁＜0＜x₂），
則x₁，x₂是方程x²+kx+k+1=0的兩個實根，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴AB=x₂-x₁=1-k+1=2-k，
由直角三角形的性質得MC=

1

2

AB，
∴

(k-2)2

4

=

2-k

2

，
∵-1＜k＜1，
則2-k＞0，
∴

2-k

2

=1，
解得k=0，
∴當k=0時存在以C為直角頂點的直角三角形，
故存在符合條件的直角三角形．

點評：此題比較復雜，考查的是一元二次方程與二次函數的關系，及直角三角形的性質，是中學階段的重點也是難點．