Question

如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．點P由C出發沿CA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PE∥CD？并求出此時PE的長；
（2）試判斷△PEF的形狀，并請說明理由．
（3）當0＜t＜2.5時，
（ⅰ）在上述運動過程中，五邊形ABFPE的面積

 

（填序號）
①變大        ②變小        ③先變大，后變小        ④不變
（ⅱ）設△PEQ的面積為y（cm²），求出y（cm²）與t（s）之間的函數關系式及y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意推出AP的長度，然后推出△APE∽△ACD，根據對應邊成比例，即可推出t的值，推出點P、E分別為AC、AD的中點，即可推出EF的長度；
（2）根據題意推出∠CFQ=∠CQF，既而推出CF=CQ，因此AQ=BF=AE，AP=CQ=CF，從而推出△PAE≌△FCP，因此PE=PF，即△PEF是等腰三角形；
（3）①根據題意，即可推出不變，②過點P作PH⊥EF于點H，過點C作CG⊥AB于點G，通過求證△AQE∽△ACD，△PQH∽△CAG，即可推出QE，PH關于t的表達式，即可推出y關于t的解析式，根據二次函數的最值即可推出y的取值范圍．

解答：解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴

t

5

=

5-t

5

，
∴t=2.5，
此時點P、E分別為AC、AD的中點，
∴PE=

1

2

CD=

1

2

AB=3cm；（4分）

（2）△PEF是等腰三角形（5分）
證明：在?ABCD中，AD=BC=AC，AB=EF=CD，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，
∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP，
∴PE=PF；（8分）

（3）（ⅰ）在上述運動過程中，五邊形ABFPE的面積④（填序號）（10分）
（ⅱ）∵△AQE∽△ACD，
∴

QE

CD

=

AQ

AC

，
∴QE=

AQ

AC

•CD=

6

5

t（11分）
過點P作PH⊥EF于點H，過點C作CG⊥AB于點G，
∴△PQH∽△CAG，
∴

PH

CG

=

PQ

AC

，
∴PH=

PQ

AC

• CG=

4

5

(5-2t)
∴y=-

24

25

(t-

5

4

)2+

3

2

（13分）
∴當t=

5

4

時，y_最大=

3

2

，
∴0＜y≤

3

2

．（14分）

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定、平行四邊形的性質，關鍵在于熟練地運用各個性質求證相關的三角形相似．