Question

【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+3的圖象經過A（﹣1，0）、C（3，0）、并且與y軸相交于點B，點P是直線BC上方的拋物線上的一動點，PQ∥y軸交直線BC于點Q．

（1）求此二次函數的表達式；

（2）求線段PQ的最大值；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△MAB為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數關系式即可；（2）設P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）．利用兩點間的距離公式得到PQ＝﹣m2+3m，再利用配方法求得最值即可；（3）分①MA＝MB， ②MA＝AB，③AB＝MB三種情況求點M的坐標即可．

解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx+3的圖象經過A（﹣1，0），C（3，0）．

∴

解得．

∴此二次函數表達式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵設直線BC為y＝kx+b，因其經過B（0，3），C（3，0），

∴．

解得k＝﹣1，b＝3

∴直線BC的表達式為y＝﹣x+3．

設P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）

PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）

＝﹣m2+3m

＝﹣（m﹣）2+．

PQ的最大值為．

（3）存在，理由如下：

∵二次函數y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝﹣＝1，OA＝1，OB＝3，

在Rt△ABO中由勾股定理可得AB＝，AB2＝10．

設M（1，a），則MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2．

分三種情況討論：

①MA＝MB，22+a2＝12+（a﹣3）2，得a＝1，

∴M1（1，1）；

②MA＝AB，22+a2＝10，得a＝±，

∴M2（1，），M3（1，﹣）；

③AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6，

∴M4（1，0），M5（1，6）．

∵M5、A、B三點共線，

∴M5（1，6）舍去．

∴M的坐標為：M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．